f(x)=(x+1)^2/X^2+1的单调性是什么？怎么证明？

(x+1)^2/X^2+1
=(X^2+1+2X)/X^2+1
=1+2X/X^2+1
设函数0<x1<x2。则
f(x1)-f(x2)
=2X1/X1^2+1-2X2/X2^2+1
=2（x1-x2)(1-x1x2)/(X1^2+1)(X2^2+1）
当0<x<1，1-x1x2>0。所以f(x1)-f(x2)<0所以单增
当x>1，1-x1x2<0。所以f(x1)-f(x2)<0所以单减
又函数为奇函数，所以单调性和在（0，+∞）上一样
当-1<x<0，1-x1x2>0。所以f(x1)-f(x2)<0所以单增
当x<-1，1-x1x2<0。所以f(x1)-f(x2)<0所以单减